计算物理 ›› 2022, Vol. 39 ›› Issue (3): 309-317.DOI: 10.19596/j.cnki.1001-246x.8411
收稿日期:
2021-06-11
出版日期:
2022-05-25
发布日期:
2022-09-02
通讯作者:
尚月强
作者简介:
朱家莉, 女, 硕士研究生, 研究方向为偏微分方程数值解, E-mail: Julyzhu96@163.com
基金资助:
Jiali ZHU(), Yueqiang SHANG*(
)
Received:
2021-06-11
Online:
2022-05-25
Published:
2022-09-02
Contact:
Yueqiang SHANG
摘要:
提出一种数值求解定常不可压缩Stokes方程的并行两水平Grad-div稳定有限元算法。首先在粗网格中求解Grad-div稳定化的全局解, 再在相互重叠的细网格子区域上并行纠正。通过对稳定化参数、粗细网格尺寸恰当的选取, 该方法可得到最优收敛率, 数值结果验证了算法的高效性。
朱家莉, 尚月强. 不可压缩流的并行两水平稳定有限元算法[J]. 计算物理, 2022, 39(3): 309-317.
Jiali ZHU, Yueqiang SHANG. A Parallel Two-level Stablized Finite Element Algorithm for Incompressible Flows[J]. Chinese Journal of Computational Physics, 2022, 39(3): 309-317.
h | H | CPU/s | $\frac{\left\|p-p^h\right\|_{0, \mathit{\Omega}}}{\|p\|_{0, \mathit{\Omega}}}$ | 收敛阶 | |
1/27 | 1/18 | 0.3 | 0.002 231 99 | 0.002 671 32 | |
1/64 | 1/32 | 1.26 | 0.000 445 662 | 0.000 423 465 | 1.895 44 |
1/125 | 1/50 | 4.19 | 0.000 118 793 | 0.000 105 77 | 1.984 19 |
表1 算法Ⅱ近似解的误差
Table 1 Calculation errors of the approximation solutions with AlgorithmⅡ
h | H | CPU/s | $\frac{\left\|p-p^h\right\|_{0, \mathit{\Omega}}}{\|p\|_{0, \mathit{\Omega}}}$ | 收敛阶 | |
1/27 | 1/18 | 0.3 | 0.002 231 99 | 0.002 671 32 | |
1/64 | 1/32 | 1.26 | 0.000 445 662 | 0.000 423 465 | 1.895 44 |
1/125 | 1/50 | 4.19 | 0.000 118 793 | 0.000 105 77 | 1.984 19 |
h | H | CPU/s | $\frac{\left\|p-p^h\right\|_{0, \mathit{\Omega}}}{\|p\|_{0, \mathit{\Omega}}}$ | 收敛阶 | |
1/27 | 1/18 | 0.33 | 0.008 306 41 | 0.002 654 18 | |
1/64 | 1/32 | 1.24 | 0.001 451 32 | 0.000 407 09 | 2.026 32 |
1/125 | 1/50 | 4.214 | 0.000 307 177 | 0.000 127 241 | 2.297 95 |
表2 并行不带稳定项算法近似解的误差[20]
Table 2 Calculation errors of the approximation solutions with AlgorithmⅡ without stabilization
h | H | CPU/s | $\frac{\left\|p-p^h\right\|_{0, \mathit{\Omega}}}{\|p\|_{0, \mathit{\Omega}}}$ | 收敛阶 | |
1/27 | 1/18 | 0.33 | 0.008 306 41 | 0.002 654 18 | |
1/64 | 1/32 | 1.24 | 0.001 451 32 | 0.000 407 09 | 2.026 32 |
1/125 | 1/50 | 4.214 | 0.000 307 177 | 0.000 127 241 | 2.297 95 |
h | H | CPU/s | $\frac{\left\|p-p^h\right\|_{0, \mathit{\Omega}}}{\|p\|_{0, \mathit{\Omega}}}$ | 收敛阶 | |
1/27 | 1/18 | 0.66 | 0.002 244 77 | 0.002 268 77 | |
1/64 | 1/32 | 3.45 | 0.000 433 208 | 0.000 401 801 | 1.915 99 |
1/125 | 1/50 | 14.652 | 0.000 117 007 | 0.000 106 459 | 1.958 06 |
表3 标准Grad-div稳定有限元算法近似解的误差[21]
Table 3 Calculation errors of the approximation solutions with standard Grad-div stabilized algorithm
h | H | CPU/s | $\frac{\left\|p-p^h\right\|_{0, \mathit{\Omega}}}{\|p\|_{0, \mathit{\Omega}}}$ | 收敛阶 | |
1/27 | 1/18 | 0.66 | 0.002 244 77 | 0.002 268 77 | |
1/64 | 1/32 | 3.45 | 0.000 433 208 | 0.000 401 801 | 1.915 99 |
1/125 | 1/50 | 14.652 | 0.000 117 007 | 0.000 106 459 | 1.958 06 |
ν | 算法Ⅱ | 并行不带稳定项算法[ | 标准稳定有限元算法[ | |||||
1 | 0.000 396 008 | 0.000 653 796 | 0.000 395 882 | 0.000 605 905 | 0.000 395 174 | 0.000 482 748 | ||
0.1 | 0.000 404 811 | 0.000 437 283 | 0.000 419 501 | 0.000 413 509 | 0.000 402 798 | 0.000 401 947 | ||
0.01 | 0.000 445 662 | 0.000 423 465 | 0.001 451 32 | 0.000 407 09 | 0.000 433 208 | 0.000 401 801 | ||
0.001 | 0.000 639 316 | 0.000 423 619 | 0.013 970 9 | 0.000 406 619 | 0.000 558 298 | 0.000 415 755 | ||
0.0001 | 0.002 934 72 | 0.000 502 547 | 0.139 655 | 0.000 406 574 | 0.002 352 17 | 0.000 501 986 |
表4 不同ν值下三种算法的误差
Table 4 Calculation errors of three algorithms with differentν
ν | 算法Ⅱ | 并行不带稳定项算法[ | 标准稳定有限元算法[ | |||||
1 | 0.000 396 008 | 0.000 653 796 | 0.000 395 882 | 0.000 605 905 | 0.000 395 174 | 0.000 482 748 | ||
0.1 | 0.000 404 811 | 0.000 437 283 | 0.000 419 501 | 0.000 413 509 | 0.000 402 798 | 0.000 401 947 | ||
0.01 | 0.000 445 662 | 0.000 423 465 | 0.001 451 32 | 0.000 407 09 | 0.000 433 208 | 0.000 401 801 | ||
0.001 | 0.000 639 316 | 0.000 423 619 | 0.013 970 9 | 0.000 406 619 | 0.000 558 298 | 0.000 415 755 | ||
0.0001 | 0.002 934 72 | 0.000 502 547 | 0.139 655 | 0.000 406 574 | 0.002 352 17 | 0.000 501 986 |
ν | 算法Ⅱ | 并行不带稳定项算法[ | 标准稳定有限元算法[ |
1 | 1.2 | 1.23 | 3.34 |
0.1 | 1.544 | 1.26 | 3.43 |
0.01 | 1.26 | 1.24 | 3.45 |
0.001 | 1.2 | 1.2 | 3.32 |
0.0001 | 1.19 | 1.19 | 3.34 |
表5 不同ν值下三种算法的时间
Table 5 Computation time of three algorithms with differentν
ν | 算法Ⅱ | 并行不带稳定项算法[ | 标准稳定有限元算法[ |
1 | 1.2 | 1.23 | 3.34 |
0.1 | 1.544 | 1.26 | 3.43 |
0.01 | 1.26 | 1.24 | 3.45 |
0.001 | 1.2 | 1.2 | 3.32 |
0.0001 | 1.19 | 1.19 | 3.34 |
算法 | h | H | CPU/s | 收敛阶 | ||
算法B1 | 1/36 | 1/6 | 0.25 | 0.038 828 5 | 0.049 271 6 | |
1/64 | 1/8 | 0.78 | 0.022 016 6 | 0.024 655 | 1.011 8 | |
1/100 | 1/10 | 1.83 | 0.013 383 5 | 0.014 624 9 | 1.121 44 | |
1/144 | 1/12 | 4.041 | 0.008 587 9 | 0.009 937 13 | 1.199 09 | |
算法B2 | 1/36 | 1/6 | 0.24 | 0.805 262 | 0.028 664 8 | |
1/64 | 1/8 | 0.78 | 0.336 315 | 0.016 610 2 | 1.514 82 | |
1/100 | 1/10 | 1.81 | 0.175 062 | 0.010 898 3 | 1.459 75 | |
1/144 | 1/12 | 3.85 | 0.104 861 | 0.007 953 88 | 1.401 34 |
表6 P1-P1元下算法B1与算法B2的误差
Table 6 Calculation errors of Algorithms B1 and B2 under P1-P1 element
算法 | h | H | CPU/s | 收敛阶 | ||
算法B1 | 1/36 | 1/6 | 0.25 | 0.038 828 5 | 0.049 271 6 | |
1/64 | 1/8 | 0.78 | 0.022 016 6 | 0.024 655 | 1.011 8 | |
1/100 | 1/10 | 1.83 | 0.013 383 5 | 0.014 624 9 | 1.121 44 | |
1/144 | 1/12 | 4.041 | 0.008 587 9 | 0.009 937 13 | 1.199 09 | |
算法B2 | 1/36 | 1/6 | 0.24 | 0.805 262 | 0.028 664 8 | |
1/64 | 1/8 | 0.78 | 0.336 315 | 0.016 610 2 | 1.514 82 | |
1/100 | 1/10 | 1.81 | 0.175 062 | 0.010 898 3 | 1.459 75 | |
1/144 | 1/12 | 3.85 | 0.104 861 | 0.007 953 88 | 1.401 34 |
图4 (a) 2 × 2,(b) 4 × 4子域的并行无稳定项算法方向驱动流流线
Fig.4 Streamlines of lid-driven cavity flow with a parallel algorithm without stabilization on (a) 2 × 2, (b) 4 × 4 subdomains
图5 标准有限元算法与算法Ⅱ沿(a)垂直方向的u1速度和(b)水平方向u2速度
Fig.5 (a) u1-velocity along vertical and (b) u2-velocity along horizontal with standard finite element and AlgorithmⅡ
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曹念铮, 游仁然. 求解振荡及非定常Stokes流动的边界元方法[J]. 计算物理, 1990, 7 (3): 257- 267.
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