针对带源项的底部非平坦浅水波方程，本文对高阶紧致中心加权基本无振荡(CCWENO)型熵稳定格式的保平衡性进行研究，证明了格式的保平衡性，通过一维和二维数值算例进行验证。数值结果表明：高阶CCWENO型熵稳定格式具有保平衡性，即便在较粗网格下也能够准确捕捉解的微小扰动。

针对经典PINN(Physics-informed Neural Networks)在求解浅水波方程间断问题时的不足，提出一种黏性耗散机制的正则化PINN算法。该算法利用黏性正则化的浅水波方程作为网络构建中的物理约束，并在损失函数中作为惩罚项，训练网络用正则化方程的光滑解逼近原方程的间断解，采用网格加密熵稳定格式的数值解作为参考，学习得原方程在整个区域的解。对满足不同初始条件的一维、二维浅水问题进行数值模拟，并与经典PINN算法进行比较，数值结果表明新算法泛化能力强，可预测任意时刻的解，分辨率高，不会出现抹平和伪振荡现象。

证明Weighted Essentially Non-Oscillatory with Adaptive Order(WENO-AO)重构的保号性, 确保在单元交界面处重构值的跳跃符号与原始值的跳跃符号保持一致, 给出保号性成立的充分条件。WENO-AO重构通过高阶多项式与低阶重构的非线性组合来实现自适应收敛阶, 在求解不连续点附近的解时, WENO-AO重构比经典WENO重构更精确, 且具有很好的稳定性。采用中心迎风数值通量, 结合时间方向的三阶强稳定Runge-Kutta法计算。数值结果表明该格式最高可达五阶精度, 且具有分辨率高、鲁棒性强等良好特性, 并能够准确地捕捉间断位置, 有效抑制伪振荡的产生。

针对磁流体动力学方程, 通过分析数据重建所需的条件, 构造一种基于MUSCL(Monotone Upstream-Centred Scheme for Conservation Laws)型重建方法的斜率限制器, 获得了一种求解理想磁流体动力学方程的高分辨率熵相容格式。该格式在解的光滑区域具有高精度; 在解的间断区域可以合理地控制耗散, 可有效避免非物理现象的产生。采用熵稳定格式、熵相容格式和新的高分辨率熵相容格式对一维、二维理想磁流体动力学方程进行数值模拟。结果表明: 新格式能准确地捕捉解的结构, 且具有无振荡、高分辨、鲁棒等特性。